이산시간 푸리에 변환 예제

모든 정수 n에 대해 실제 또는 복합 숫자 x[n]의 개별 시간 푸리에 변환은 주파수 변수의 주기적 함수를 생성하는 푸리에 계열입니다. 주파수 변수인 ω이 라디안/샘플의 정규화 단위를 가지고 있는 경우 주기성은 2π이고 푸리에 계열은 비주기적 이산 신호에서 작동하는 푸리에 변환 패밀리의 멤버입니다. DTFT를 이해하는 가장 좋은 방법은 DFT와 어떻게 관련되는지입니다. 시작하려면 N 샘플 신호를 획득하고 주파수 스펙트럼을 찾으려고 한다고 가정합니다. DFT를 사용하면 신호가 시네파와 코사인파로 분해될 수 있으며, 주파수는 샘플링 속도의 0과 절반 사이의 간격을 동일하게 지정할 수 있습니다. 마지막 장에서 설명한 것처럼 시간 도메인 신호를 0으로 패딩하면 시간 도메인의 기간이 길어질 뿐만 아니라 주파수 도메인의 샘플 간 간격이 좁아집니다. N이 무한대에 가까워지면 시간 도메인은 주기적이 되고 주파수 도메인은 연속 신호가 됩니다. 이것은 DTFT, 주기적인, 연속 주파수 스펙트럼과 비주, 이산 신호를 관련하는 푸리에 변환입니다. 이 경우 는 실제 값 DFT 계수에 대한 욕구에서 창 함수 디자인의 컨텍스트에서 발생합니다. [11] 대칭 시퀀스가 유한 한 푸리에 변환 데이터 창으로 알려진 인덱스 [-M ≤ n ≤ M]와 연관된 경우, 그 DTFT, 주파수의 연속 함수 (f) , {displaystyle (f),} 시퀀스가 DFT 데이터 창[0 ≤ n ≤ 2M]으로 이동되면 DTFT에 복합 값 위상 함수가 곱됩니다. 그러나 주파수 f = k / 2 M에서 샘플링 할 때 , {디스플레이 스타일 f = k / 2M,} k의 정수 값에 대한 {displaystyle k,} 샘플은 모두 실제 값입니다.

이 목표를 달성하기 위해 1-샘플이 겹치는 주기적인 합계에서 2M {displaystyle 2M} 길이 DFT를 수행할 수 있습니다. 특히 데이터 시퀀스의 마지막 샘플이 삭제되고 해당 값이 첫 번째 샘플에 추가됩니다. 그런 다음 샘플 1개씩 단축된 창 함수가 적용되고 DFT가 수행됩니다. 단축된 짝수 길이의 창 함수를 DFT-짝수라고도 합니다. 실제로 사람들은 일반적으로 데이터를 겹치지 않고 DFT-even 창을 사용합니다. 【주 6】 이러한 관계에는 미묘한 세부 사항이 많이 있습니다. 첫째, 시간 도메인 신호인 x[n]은 여전히 불연속이므로 괄호로 표시됩니다. 이에 비해 주파수 도메인 신호인 ReX(ω) 및 ImX(ω)는 연속적이며 괄호로 작성됩니다. 주파수 도메인이 연속적이므로 합성 방정식은 합계가 아닌 통합으로 작성되어야 합니다. 복잡한 함수의 실제 및 가상 부분이 짝수 및 홀수 부품으로 분해되면 아래에 SUBScript S, RO, IE 및 IO로 표시된 네 가지 구성 요소가 있습니다.

그리고 복잡한 시간 함수의 네 가지 구성 요소와 복잡한 주파수 변환의 네 가지 구성 요소 사이의 일대일 매핑이 있습니다:[12]:p. 291 역 DFT를 계산할 때, 샘플 0과 N/2는 합성 전에 두 가지로 나누어야합니다 (Eq. 8-3) 수행 (Eq. 8-2). 이것은 DTFT에 필요하지 않습니다. 기억하듯이, DFT의 이 동작은 스펙트럼 밀도, 즉 대역폭 단위당 진폭으로 정의되는 주파수 스펙트럼과 관련이 있습니다. 스펙트럼이 연속되면 끝점의 특수 처리가 사라집니다. 그러나, 여전히 포함되어야 하는 정규화 계수가 있고, DFT(Eq. 8-3)의 2/N은 DTFT(Eq. 10-2)에서 1/π가 된다.

일부 저자는 이러한 용어를 합성 방정식 앞에 배치하는 반면 다른 저자는 분석 방정식 앞에 배치합니다. 시간 도메인 신호로 시작한다고 가정해 보겠습니다. 푸리에 변환을 취한 다음 인버스 푸리에 변환을 한 후 시작한 것으로 끝내려고 합니다.